Campos electromagnéticos: Operadores vectoriales/Gradiente

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TEORÍA Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS: CAMPOS Y VECTORES: Operadores vectoriales/Gradiente

1.6 Operadores vectoriales.

En el manejo de conceptos en teoría electromagnética, se hace necesario el uso de operadores vectoriales. Estos permiten expresar matemáticamente, modelos muy complicados, de una manera sencilla e independiente del sistema de coordenadas utilizado.

Para interpretar y utilizar adecuadamente las ecuaciones de Maxwell, es necesario comprender las operaciones vectoriales que describiremos en esta sección. Por otra parte, la solución de problemas prácticos, requiere de saber aplicar estos operadores vectoriales en diferentes sistema de coordenadas.

1.6.1 Gradiente.

Este primer operador, tiene como argumento a una función escalar y produce como resultado, a una función vectorial. Se escribe el gradiente de la función escalar "V", de la siguiente forma,

(34)

el vector anterior tiene como dirección, aquella en la cual varia mas rápido la función escalar "V" y como magnitud, la derivada de la función "V" en la dirección antes mencionada.

Por ejemplo en las cercanías de un bombillo, suponiendo que no existan otras fuentes de calor en la región, el gradiente de la temperatura en cualquier punto, será un vector que estará dirigido hacia el bombillo.

El campo vectorial constituido por el gradiente de una función escalar "V", indicara en cada punto, como esta variando y hacia donde esta variando, la función función "V". Podemos determinar la variación diferencial de la función "V" en cualquier dirección dl mediante el siguiente producto escalar,

        (35)

cuando los dos multiplicandos son paralelos, la anterior expresión es máxima, cuando los multiplicandos son perpendiculares, el resultado es cero y diremos entonces en este último caso, que dl yace sobre un plano equipotencial.

La variación de la función "V", entre dos puntos "a" y "b", se podrá determinar mediante una integral de linea,

        (36)

El gradiente en los sistema de coordenadas que hemos descrito anteriormente, será,

Rectangulares:

        (37)

Cilíndricas:

      (38)

Esféricas:

        (39)


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