Campos electromagnéticos: Diferencias finitas/Integral de linea

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TEORÍA Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS: CAMPOS Y VECTORES: Diferencias finitas/Integral de línea

1.3 Diferencias finitas

Las expresiones diferenciales formuladas en este capítulo, se utilizarán tambien para su correspondiente interpretación en términos de diferencias finitas.

Los desplazamientos diferenciales descritos en expresiones como la [4] pueden aproximarse con pequeños desplazamientos finitos, mas adelante estudiaremos cuan pequeños deben ser estos desplazamientos para un adecuado análisis desde un punto de vista discreto.

Veremos tambien, como en general, cuanto más pequeños sean estos desplazamientos o incrementos, más preciso serán los resultados. Sin embargo, estas disminuciones, a parte de incrementar los tiempos de procesamiento, tienen un límite relacionado con el formato utilizado para los números. Disminuciones mas alla de un cierto umbral, ocasionan especialmente en las simulaciones, errores debido a la truncación de algunas cantidades, a esto nos referiremos en lo sucesivo, como "ruido numérico".

1.4 Integral de línea.

Esta definición es muy importante para el concepto de rotacional. Nos interesa en particular la integral de línea de una función vectorial "F" a lo largo de un recorido "C", entre dos puntos "a" y "b", esto puede expresarse de la siguiente manera,

        (28)

cuando "a" y "b" son el mismo punto, se habla de una integral cerrada, o de una circuitación, en este caso utilizaremos la siguiente simbología,

        (29)

Se involucran aquí, los conceptos de producto escalar e integral definido, los cuales se recomienda revisar cuidadosamente en un texto de matemáticas. Por el momento recordemos que siendo un integral, el limite de una sumatoria, la integral de línea "T", podemos aproximarla como sigue y como se muestra en la figura [7].

        (30)

Cada elemento de la sumatoria, en el caso de un sistema de coordenadas rectangulares, será igual a,

(31)

Por supuesto, la aproximación será tanto mejor, cuanto mas pequeñas sean las longitudes lⁱ utilizadas, o en otras palabras, cuanto mayor sea la cantidad de subdivisiones consideradas entre los puntos "a" y "b".

Por último nótese que esta operación actúa sobre una función vectorial y produce una cantidad escalar.


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