Electromagnetismo: Electrostática: Condiciones de borde en electrostática.

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TEORÍA Y CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS: ELECTROSTÁTICA: CONDICIONES DE BORDE

2.10 Condiciones de borde en electrostática.

En una superficie que separe a dos medios con características diferentes, existen relaciones muy importantes entre los campos en ambos lados y las eventuales concentraciones de carga en la separación.

En la figura [30], se muestran dos medios con permitividades diferentes, separados por una superficie S₀. Se han identificado los campos en ambos lados de la superficie, mediante su respectivo subíndice. Veamos entonces, cuales son las condiciones de borde para el fenómeno eléctrico.

Fig 30. Separación entre dos medios.

2.10.1 Para el potencial.

En la superficie S₀, debe ser,

V1 = V2 (187)

esto es debido a que si el potencial tuviese una discontinuidad, el campo eléctrico seria infinito y esto desde el punto de vista físico, no es aceptable.

2.10.2 Para el campo eléctrico.

En la separación debe cumplirse para los campos eléctricos tangenciales que,

E_t1 = E_t2 (188)

La justificación de esta condición, es que en electrostática la circuitación del campo eléctrico es igual a cero, de manera que en un contorno como el de la figura [31], donde hagamos tender "b" a cero, podemos obtener la (188).

Fig 31. Continuidad del Campo eléctrico tangencial.

2.10.3 Para el desplazamiento.

También tenemos que en S₀, para las componentes perpendiculares del desplazamiento será,

Dn1 + Dn2 = σ_l (189)

donde se han tomado como direcciones positivas para Dn1 y Dn2 , las direcciones que se alejan de la superficie.

Fig 32. Condición para el Desplazamiento perpendicular.

En la figura [32], tomemos un volumen t al cual reduzcamos la distancia "b", de esta manera por las caras de t perpendiculares ala superficie S₀, no habrá flujo saliente de D. Habrá solo flujo saliente, a través de las caras dS1 y dS2. Este será igual a las cargas libres encerradas por t, esto es,

Dn1 dS1 + Dn2 dS2 = σ_l dS (190)

donde dS1 = dS2 = dS , por lo que la (190) se reduce a la (189).

2.10.4 Para un conductor.

Si uno de los dos medios en un conductor ideal debemos tener presente que en electrostática, el campo eléctrico dentro de un conductor es igual a cero, de no ser así, tendríamos una corriente y ya no estaríamos en electrostática.

Lo anterior implica que el gradiente del potencial es cero, esto significa que dentro del conductor (y en su superficie), el potencial es constante.

Supongamos como en la figura [33], que el medio "1", sea un conductor ideal y el medio "2" sea un dieléctrico. Como E1 es cero, también lo será Et1 y por la (188) lo será Et2. Esto significa que el campo eléctrico en la superficie de un conductor, siempre es perpendicular.

Fig 33. Condiciones de borde en un conductor.

El desplazamiento dentro del conductor es cero, y por lo tanto la (189), se reduce en la superficie del conductor a, Dn2 = σ_l .


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