(157)

de la misma forma, podemos expresar los potenciales en los puntos "b", "c" y "d", siempre en función de Vi y de sus derivadas.

        (158)

Fig 25. Valores discretos de los potenciales.

        (159)

        (160)

donde h, es la separación entre los puntos.

Si sumamos ahora a las cuatro expresiones anteriores, tendremos que,

       (161)

pero si se trata de una región sin cargas, se cumplirá la ecuación de Laplace y por lo tanto el último término de la anterior expresión será igual a cero. Despejando entonces a Vi,

        (162)

tenemos que el potencial en el punto "i" debe ser el promedio de los potenciales en los puntos vecinos.

El resultado anterior, se utiliza para determinar potenciales mediante aproximaciones sucesivas. Para ello se selecciona un conjunto de puntos en la región de interés, de manera de formar una rejilla como en la figura [26].

En algunos puntos se fijan valores constantes de los potenciales, en este caso en los puntos que están en el borde de la región. En los demás puntos se procede a calcular cíclicamente el potencial, mediante la expresión (162).

En el listado [2], se presenta una rutina en Pascal, que determina los potenciales mediante una rejilla de 21 por 11 elementos. El proceso de cálculo se estabiliza en aproximadamente 400 ciclos, obteniéndose para el potencial en el centro,

V [ a/2 , b/2 ] = 0,11162048596 V 

En la figura [27], se presenta un gráfico que muestra la convergencia del resultado en función de los ciclos de cálculo.

Fig 26. Rejilla de 21 x 11 elementos.

Fig 27. Convergencia del resultado en función de los ciclos de calculo.

{ POTENCIAL ENTRE ELECTRODOS PARALELOS }
{ Relajación con rejilla de 21 x 11 }

var
i,j,k:integer;
v:array[1..21,1..11] of real;

begin
k:=1;
{valores en la fronteras}
for i:=1 to 21 do
begin
v[i,1]:=0;
v[i,11]:=0;
end;{i}

for j:=1 to 11 do
begin
v[1,j]:=1;
v[21,j]:=1;
end;{i}

{Valores aleatorios iniciales}
for i:=2 to 20 do
begin
for j:=2 to 10 do
begin
v[i,j]:=random(100)/100;
end;{j}
end;{i}

{relajaci"n}
repeat
for i:=2 to 20 do
begin
for j:=2 to 10 do
begin
v[i,j]:=(v[i+1,j]+v[i-1,j]+v[i,j+1]+v[i,j-1])/4;
end;{j}
end;{i}
if (k mod 10 = 0) then
writeln(' k = ',k,' V = ',V[11,6]);
k:=k+1;
until keypressed;
end.

Listado 2. Rutina para la Relajación del Potencial

Las operaciones básicas que se repiten en cada ciclo, son tres sumas y una división. En el ejemplo anterior, se requirieron un total de operaciones básicas igual a,

4 (N-1) (m-1 ) Ciclos = 320.000 operaciones

La misma rutina con algunas modificaciones, puede servir a calcular el potencial, esta vez, con una rejilla de 81 por 41 elementos. En este caso, la cantidad de ciclos requeridos para la estabilización del resultado es de 4.000, y la cantidad de operaciones básicas es 5'200.000. Para esta rejilla el resultado que se obtiene es el siguiente,

V [ a/2 , b/2 ] = 0,10988737450 V        

siendo en este caso, el error respecto al resultado analítico del orden del 0,1 %.

Este procedimiento de relajación, en algunos casos puede requerir cierto tiempo de computación, pero esta situación cambia continuamente, debido al constante aumento de la velocidad en las computadoras.

La ventaja de la relajación, es que pueden determinarse potenciales, que no tienen solución conocida por la vía analítica.