(122)

El primer miembro es simplemente el producto de la divergencia de E por un elemento de volumen muy pequeño, mientras que el segundo miembro es el flujo saliente de E por la(s) superficie(s) que delimitan el elemento de volumen ∆τ.

Fig 19. Flujo saliente del elemento ∆τ

Escribamos la expresión anterior para el elemento de volumen ∆τ de la figura [19], descomponiendo la integral de superficie en seis operaciones, tendremos,

        (123)

Supongamos ahora que dividamos un volumen V₀, encerrado por una superficie S₀, como el de la figura [20], en elementos diferenciales de volumen dτ y para cada uno de ellos, escribamos una expresión como la (123). Luego sumemos todos los primeros miembros de las expresiones obtenidas, el resultado no será otro que la siguiente integral,

        (124)

Sumemos ahora, todos los segundos miembros de las expresiones mencionadas. Como puede verse en la figura [20], para dos elementos contiguos, el flujo saliente por el lado en común, será igual pero con signo opuesto. Esto significa

Fig 20. Elementos de volumen contiguos.

que los únicos flujos salientes que no se anularan serán aquellos a través de lados que pertenezcan a la superficie externa S₀.

De lo anterior se desprende, que la mencionada suma de los segundos miembros, será la siguiente integral de superficie,

        (125)

por lo tanto tenemos que,

        (126)

donde S₀ es la superficie que encierra al volumen V₀. Este resultado, es conocido como el Teorema de la divergencia y nos permite la conversión de un integral de volumen en un integral de superficie y viceversa.